2008 iTest Problems/Problem 31

Problem

The $n^\text{th}$ tern of a sequence is $a_n=(-1)^n(4n+3)$ . Compute the sum $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{2008}$ .

Solution

Write out each number in the sequence. $-7+11-15+19 \cdots -8031+8035$ By the Commutative Property, the terms can be rearranged into two arithmetic series. $-7-15-23 \cdots -8031+11+19+27 \cdots 8035$ Each sequence has $1004$ terms. Using the arithmetic series formula, the sum $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{2008}$ equals $\frac{1004(-7-8031)}{2} + \frac{1004(11+8035)}{2}$ $502(-8038) + 502(8046)$ $502(8)$ $\boxed{4016}$

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