Art of Problem Solving
AoPS Online
Math texts, online classes, and more
for students in grades 5-12.
Visit AoPS Online ‚
Books for Grades 5-12 Online Courses
Beast Academy
Engaging math books and online learning
for students ages 6-13.
Visit Beast Academy ‚
Books for Ages 6-13 Beast Academy Online
AoPS Academy
Small live classes for advanced math
and language arts learners in grades 2-12.
Visit AoPS Academy ‚
Find a Physical Campus Visit the Virtual Campus

1987 AJHSME Problems/Problem 7

Problem

The large cube shown is made up of $27$ identical sized smaller cubes. For each face of the large cube, the opposite face is shaded the same way. The total number of smaller cubes that must have at least one face shaded is

$\text{(A)}\ 10 \qquad \text{(B)}\ 16 \qquad \text{(C)}\ 20 \qquad \text{(D)}\ 22 \qquad \text{(E)}\ 24$

[asy] unitsize(36); draw((0,0)--(3,0)--(3,3)--(0,3)--cycle); draw((3,0)--(5.2,1.4)--(5.2,4.4)--(3,3)); draw((0,3)--(2.2,4.4)--(5.2,4.4)); fill((0,0)--(0,1)--(1,1)--(1,0)--cycle,black); fill((0,2)--(0,3)--(1,3)--(1,2)--cycle,black); fill((1,1)--(1,2)--(2,2)--(2,1)--cycle,black); fill((2,0)--(3,0)--(3,1)--(2,1)--cycle,black); fill((2,2)--(3,2)--(3,3)--(2,3)--cycle,black); draw((1,3)--(3.2,4.4)); draw((2,3)--(4.2,4.4)); draw((.733333333,3.4666666666)--(3.73333333333,3.466666666666)); draw((1.466666666,3.9333333333)--(4.466666666,3.9333333333)); fill((1.73333333,3.46666666666)--(2.7333333333,3.46666666666)--(3.46666666666,3.93333333333)--(2.46666666666,3.93333333333)--cycle,black); fill((3,1)--(3.733333333333,1.466666666666)--(3.73333333333,2.46666666666)--(3,2)--cycle,black); fill((3.73333333333,.466666666666)--(4.466666666666,.93333333333)--(4.46666666666,1.93333333333)--(3.733333333333,1.46666666666)--cycle,black); fill((3.73333333333,2.466666666666)--(4.466666666666,2.93333333333)--(4.46666666666,3.93333333333)--(3.733333333333,3.46666666666)--cycle,black); fill((4.466666666666,1.9333333333333)--(5.2,2.4)--(5.2,3.4)--(4.4666666666666,2.9333333333333)--cycle,black); [/asy]

Solution

Clearly no cube has more than one face painted. Therefore, the number of cubes with at least one face painted is equal to the number of painted unit squares.

There are $10$ painted unit squares on the half of the cube shown, so there are $10\cdot 2=20$ cubes with at least one face painted.

$\boxed{\text{C}}$

See Also

1987 AJHSME (Problems • Answer Key • Resources)
Preceded by
Problem 6 		Followed by
Problem 8
1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11 • 12 • 13 • 14 • 15 • 16 • 17 • 18 • 19 • 20 • 21 • 22 • 23 • 24 • 25
All AJHSME/AMC 8 Problems and Solutions

The problems on this page are copyrighted by the Mathematical Association of America's American Mathematics Competitions. AMC logo.png

Retrieved from "https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=1987_AJHSME_Problems/Problem_7&oldid=55522"