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_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}^\circ_\circ}}}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}}}}}}}}}}}}}_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}}}}}}}}}}}}}<math></math>{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}^\circ_\circ}}}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}}}}}}}}}}}}}^{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}^\circ_\circ}}}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}}}}}}}}}}}}}_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}^\circ_\circ}}}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{{\cir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</math>{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}^\circ_\circ}}}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}}}}}}}}}}}}}^{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}^\circ_\circ}}}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}}}}}}}}}}}}}_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}^\circ_\circ}}}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}^\circ_\circ}}}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}}}}}}}}}}}}}_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}}}}}}}}}}}}}<math></math>{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}^\circ_\circ}}}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}}}}}}}}}}}}}^{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}^\circ_\circ}}}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}}}}}}}}}}}}}_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}^\circ_\circ}}}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_{\circ_{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{{\circ_{\circ_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}^\circ_\circ}}}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}^{\circ^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}_{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\circ^\circ_\circ}}}}}}}}}}}}}}}}_\circ}}^{\circ_{\circ_\circ^\circ}^{\ci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Revision as of 20:52, 12 January 2025
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Contributions
2005 AMC 8 Problems/Problem 21 Solution 2
2022 AMC 12B Problems/Problem 25 Solution 5 (Now it's solution 6)
2023 AMC 12B Problems/Problem 20 Solution 3
2016 AIME I Problems/Problem 10 Solution 3
2017 AIME I Problems/Problem 14 Solution 2
2019 AIME I Problems/Problem 15 Solution 6
2022 AIME II Problems/Problem 3 Solution 3
1978 USAMO Problems/Problem 1 Solution 4
Restored diagram for 1994 AIME Problems/Problem 7
Divergence Theorem
Stokes' Theorem
Principle of Insufficient Reasons
Nested Sum Theorem
Proofs to Some Number Theory Facts
Hensel's Lemma
Chebyshev and the history of the Prime Number Theorem
Problems Sharing Contest
Here, you can post all the math problems that you have. Everyone will try to come up with a appropriate solution. The person with the first solution will post the next problem. I'll start:
1. There is one and only one perfect square in the form
where and are prime. Find that perfect square. ~Ddk001
1. We can expand the product in the expression. . Suppose this equals for some positive integer . We rewrite using the square of a binomial pattern to find that . Through trial and error on small values of and , we find that and must equal and in some order. The perfect square formed using these numbers is .
Note: I will be the first to admit that this solution is somewhat lucky.
2. A diamond is created by connecting the points at which a square circumscribed around the incircle of an isosceles right triangle intersects itself. has leg length . The perimeter of this diamond is expressible as , where , , and are integers, and is not divisible by the square of any prime. What is the remainder when is divided by ?
Solution 1
The inradius of , , can be calculated as
so the square have side length . Let the be the vertex of the square on side . Then . Let the sides of the square intersect at and , with . Then so . Let be the vertex of the square across from . Then . Thus the perimeter of the diamond is
The desired sum is .
Ddk001 Presents
THE FOLLOWING PROBLEM
Note: This is one of my favorite problems. Very well designed and actually used two of my best tricks without looking weird.
Suppose
Find the remainder when is divided by 1000.
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